Facebook Messengerを利用してメッセージを配信し、ユーザーのお知らせ欄に通知される、という形で実現することが可能です。

また、Facebookには別途 “Facebook通知”という機能もございます。こちらはレギュレーションが厳しいこと、Mobileで受け取れないことなどを理由に現在案内を止めております。 https://developers.facebook.com/docs/games/services/appnotifications